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Qual a forma geométrica mais simples e segura?
 Os pioneiros da aviação realizaram seus primeiros vôos com um aparelho de forma triangular, semelhante a uma asa-delta, que dispensava motor. Também observamos que diversas estruturas de forma triangular são utilizadas para sustentar, entre outras coisas, viadutos, pontes, guindastes e torres de alta tensão; ou seja, em estruturas que precisam de estabilidade e não podem ser construídas com estruturas rígidas que as tornariam vulneráveis às mudanças de temperatura ou ao menor movimento do solo. O triângulo, por ser o polígono mais simples e por inspirar mais segurança, foi considerado pelo filósofo grego Platão (IV a.C.) o elemento-chave para a compreensão do Universo e de todas as coisas.
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| Figura 1 |
1. Definição
Polígono é a região do plano limitada por uma linha poligonal simples fechada. Esse enunciado nos ajuda a definir mais facilmente o triângulo como um polígono de três lados.
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| A forma triangular está quase sempre presente nas estruturas de sustentação de diferentes tipos de construção: a razão fundamental disso é a estabilidade que ela proporciona |
Para lembrar:
| O triângulo é o polígono com menor número de lados, pois com dois lados não podemos formar nenhum polígono (Figura 1, acima). |
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| Figura 2 |
2. Elementos de um triângulo
Num triângulo, podemos definir os seguintes elementos (Figura 2, ao lado):
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Vértices: são os pontos comuns a dois lados. |
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Ângulos: são formados por dois lados. |
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Lados: são os segmentos da linha poligonal. |
3. Classificação segundo os lados
Observando a medida dos lados dos triângulos, podemos classificá-los em:
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Eqüilátero: quando tem os três lados iguais e, nesse caso, também os ângulos. Por isso, ele é um polígono regular (Figura 3a, abaixo) |
| • |
Isósceles: quando tem dois lados iguais (Figura 3b, abaixo). Nesse caso, os ângulos opostos aos lados iguais também são iguais. |
| • |
Escaleno: quando não tem nenhum lado igual. Seus ângulos também são desiguais (Figura 3c). |
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| Figura 3a |
Figura 3b |
Figura 3c |
4. Classificação segundo os ângulos
Segundo seus ângulos, os triângulos podem ser:
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| Figura 4a |
Figura 4b |
Figura 4c |
| • |
Retângulos: quando têm um ângulo reto. Os lados que formam este ângulo são os catetos e o lado oposto é a hipotenusa (Figura 4a, ao lado). |
| • |
Acutângulos: quando têm os três ângulos agudos (Figura 4b, ao lado). |
| • |
Obtusângulos: quando têm um ângulo obtuso. O lado oposto a este ângulo é o maior lado do triângulo (Figura 4c, ao lado). |
5. Relação entre os lados e os ângulos
Vamos mostrar, agora, que um lado qualquer de um triângulo é menor que a soma dos outros dois e maior que a sua diferença.
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| Figura 5 |
Observe o triângulo da Figura 5, ao lado. A distância entre os pontos C e B é o segmento que os une, o lado a.
Assim, a distância percorrida para ir de C a B, passando por A, é b + c, que é maior que o lado a. Se medirmos os lados, comprovaremos que o lado menor, b, é maior que a diferença dos outros dois lados.
A soma dos três ângulos de um triângulo é um ângulo raso ou de 180°. Para demonstrá-lo:
| • |
Traçamos por um dos vértices uma linha paralela ao lado oposto (Figura 6, abaixo). |
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| Figura 6 |
Figura 7 |
Formam-se, assim, três ângulos, , e tais que somados dão 180° (Figura 7, ao lado). Mas:
por serem ângulos alternos internos entre paralelas.
Portanto, os ângulos:
 + + = 180°
6. Construção de triângulos
Conhecendo os seus lados
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| Figura 8 |
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| Figura 9 |
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| Figura 10 |
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| Figura 11 |
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| Figura 12 |
Conhecendo as medidas dos três lados de um triângulo pode-se construí-lo seja ele escaleno, isósceles ou eqüilátero (Figura 8, à esquerda).
Nós o faremos seguindo quatro fases ou etapas:
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Desenhamos um segmento igual a um dos lados (Figura 9, à esquerda). |
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Com a ponta do compasso em uma das extremidades do segmento, traçamos um arco cujo raio seja o comprimento de outro lado (Figura 10,à esquerda). |
| • |
Colocando a ponta do compasso na outra extremidade do segmento, traçamos outro arco cujo raio é o comprimento do terceiro lado. No ponto onde os arcos se cortam está o terceiro vértice (Figura 11,à esquerda). |
| • |
Finalmente, unimos os vértices e obtemos o triângulo de lados iguais aos dados (Figura 12,à esquerda). |
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| Figura 13 |
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| Figura 14 |
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| Figura 15 |
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| Figura 16 |
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Conhecendo dois de seus lados e o ângulo que formam |
| • |
Pode-se construir um triângulo conhecendo-se dois de seus lados e o ângulo que formam (Figura 13, à direita). |
| • |
Desenhamos primeiro uma reta e, sobre ela, construímos um ângulo igual ao dado (Figura 14, à direita). |
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Sobre cada lado do ângulo desenhamos dois segmentos conforme os dados. Para tal, traçamos dois arcos com centro no vértice e cujos raios sejam os comprimentos de cada um dos lados. (Figura 15, à direita). |
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Unindo em seguida os pontos, obtemos o triângulo procurado (Figura 16, à direita). |
7. Critérios de congruência
Se quisermos saber se dois triângulos são congruentes, não é preciso comprovar se têm seus três ângulos e seus três lados iguais, basta comparar alguns dos elementos que o formam. Essas condições são os critérios de congruência. Para que dois triângulos sejam congruentes, precisam obedecer a um dos três critérios:
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Ter os três lados iguais um a um (Figura 17, abaixo). |
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| Figura 17 |
| • |
Ter um lado de um dos triângulos igual a outro lado do outro triângulo e os ângulos adjacentes respectivamente iguais (Figura 18, abaixo). |
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| Figura 18 |
| • |
Ter dois lados e o ângulo compreendido entre eles iguais (Figura 19, abaixo). |
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| Figura 19 |
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| Figura 20 |
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| Figura 21 |
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| Figura 22 |
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| Figura 23 |
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| Figura 24 |
8. Altura e ortocentro
Altura de um triângulo é o segmento perpendicular à reta suporte de um lado, traçado do vértice oposto a esse lado até essa reta suporte (Figura 20, ao lado).
Um triângulo possui três alturas. Essas se cortam num ponto chamado ortocentro (Figura 21, ao lado).
9. Mediana e baricentro
Mediana é o segmento que une o vértice ao ponto médio de seu lado oposto (Figura 22, ao lado). As três medianas cortam-se num ponto chamado baricentro (Figura 23, abaixo).
A distância do vértice ao baricentro equivale a dois terços da mediana; e a distância do baricentro ao ponto médio do lado do triângulo equivale a um terço da mesma mediana (Figura 24, abaixo).
EXERCÍCIOS
| 1. |
O perímetro de um triângulo eqüilátero mede 48 m. Quantos metros mede cada lado? |
| 2. |
Como se classifica o triângulo eqüilátero segundo seus ângulos? |
| 3. |
Determinar quantos triângulos existem na Figura 25, abaixo. |
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| Figura 25 |
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| 4. |
A que classe pertence o triângulo que tem por lados 4 cm, 6 cm e 6 cm? Construa esse triângulo. Trace a altura e a mediana correspondentes ao lado de 4 cm. O que ocorre? |
| 5. |
Um ângulo de um triângulo isósceles mede 32º. Quanto mede cada um dos outros dois ângulos iguais? |
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