O que é comum a todos os seres e às suas sombras numa certa hora do dia? 

Conta a lenda que quando o matemático e filósofo grego Tales (século VI a.C.) chegou ao Egito, os sacerdotes pediram-lhe que averiguasse a altura da pirâmide de Quéops. Tales traçou uma linha no solo, marcando nela sua altura e esperou que sua sombra, projetada pelo sol, ficasse igual à sua altura; nesse momento, mediu a sombra projetada pela pirâmide. O matemático respondeu aos sacerdotes: "Agora que minha sombra é igual à minha altura, o comprimento da sombra da pirâmide deve coincidir com o comprimento de sua altura". Podemos também medir a altura de edifícios, árvores, postes telefônicos pela sombra que projetam no solo.
 

1. O que é semelhança em geometria
As figuras geométricas são semelhantes se possuem exatamente a mesma forma, independentemente de seu tamanho. Por isso podemos dizer que um quadrado é semelhante a todos os outros quadrados. Do mesmo modo, dois círculos, quaisquer que sejam, serão sempre semelhantes. 

Estas afirmações, contudo, não podem ser feitas para quaisquer triângulos. Quando é que dois triângulos são semelhantes; isto é, quando é que possuem a mesma forma? É o que estudaremos neste capítulo.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

2. Triângulos em posição de Tales
Considere o triângulo MNP da Figura 1.

Trace sobre ele uma reta paralela ao segmento MP, como indica a Figura 2.

Podemos observar, na Figura 3, que se formou um novo triângulo, M'NP'. 

Chamaremos os triângulos MNP e M'NP' de triângulos em posição de Tales, pois podemos aplicar a eles o Teorema de Tales: 

Para lembrar:

3. Semelhança de triângulos
Observe agora os dois triângulos da Figura 4: 

Figura 4

Diremos que dois triângulos são semelhantes se tiverem: 

= ; Â = Â;  =

Sendo K a razão de semelhança ou constante de proporcionalidade. 

Para lembrar:

Critérios de semelhança de triângulos 

Sabemos que dois triângulos são semelhantes se tiverem os ângulos iguais e os lados correspondentes proporcionais. Os critérios de semelhança comprovam essas condições: 

Construímos agora um triângulo com razão de semelhança K, em posição de Tales, em relação ao triângulo ABC (Figura 6 e Figura 7). 

Figura 6	Figura 7

 e  

têm os lados iguais, pois ambos têm lados proporcionais aos lados do triângulo: 

, com a mesma razão de semelhança.

Portanto, se os triângulos  e  são semelhantes, então o triângulo MNP é semelhante ao triângulo ABC. 

Figura 8

Desenhamos novamente dois triângulos. Construímos um triângulo  (Figura 8) em posição de Tales com relação ao triângulo, com a condição de que: 

E: 

Os triângulos  e  são congruentes, pois: 

Condição que impusemos pela hipótese estabelecida para ângulos de lados paralelos. Isso
implica que: 

=

Figura 9

Portanto, se dois ângulos correspondentes são iguais, o terceiro também será. 

Figura 10

Construímos, em seguida, um triângulo em posição de Tales com relação ao triângulo , resultando triângulos semelhantes, com razão de semelhança
K (Figura 10). 

Os triângulos: 

 e  são congruentes, pois: 

 =

Com o que: 

Pela hipótese estabelecida, os dois lados são proporcionais aos lados correspondentes do triângulo  com a mesma razão de semelhança. 

Portanto, o triângulo  é semelhante ao triângulo . 

Critérios de semelhança de triângulos retângulos 

Todos os triângulos retângulos têm o ângulo reto igual, portanto diminuem as condições para que eles sejam semelhantes. 

Figura 11

Figura 12

Figura 13

Propriedades dos triângulos semelhantes 

Figura 14

De acordo com a Figura 14, podemos afirmar que: 

Aplicação prática da semelhança de triângulos 

Imagine que queremos medir a altura de uma árvore. 

Para isso, devemos seguir o seguinte procedimento: 

Agora podemos responder à pergunta feita no início do capítulo: 

Para lembrar:

Isso acontece porque todos os triângulos que se formam tendo como lados a altura do objeto, o comprimento de sua sombra e a parte do raio de sol, compreendida entre as extremidades do objeto e de sua sombra, são semelhantes entre si.