Como apreender o movimento das formas? 

O homem criou o número para dominar o movimento das quantidades da natureza. Assim como as quantidades, as formas que encontramos ao nosso redor estão em permanente mudança. Olhamos para o céu e nos admiramos com as formas circulares dos astros; no tronco das árvores percebemos os cilindros e, nas suas folhas, os desenhos de várias figuras diferentes. Para descrever o belo movimento das formas que o cercam e planejar suas plantações, calculando a área a ser cultivada, por exemplo, o homem criou a Geometria – que em grego significa medição da terra. Foi no Egito Antigo, porém, que a 'técnica para medir terrenos' ganhou impulso. Todos os anos, as cheias do rio Nilo inundavam as terras em volta, depositando o húmus que fertilizava as plantações. Mas, às vezes, o rio apagava os limites dos terrenos e era preciso medi-los para reconstruir suas formas e dimensões originais. Ampliando a experiência egípcia, os gregos criaram o primeiro modelo de Geometria da História. Atualmente, a Geometria Plana representa uma parte importante da Geometria Elementar.
 

1. Ponto e reta

Figura 1

Figura 2

Também podemos imaginar retas em nosso dia-a-dia, como mostra a Figura 3, ao lado. 

Para lembrar:

Figura 3

Figura 4

2. Semi-reta e segmento

Figura 5

Figura 6

Segmento 

Quando marcamos dois pontos numa reta, o traço compreendido entre esses dois pontos recebe o nome de segmento (Figura 6). 

Ao situar os pontos A  e B, obtemos o segmento . 

Propriedades fundamentais das retas 

Figura 7

Figura 8

	3. Plano É uma superfície plana que se estende infinitamente em todas as direções. É como uma lâmina tão fina que não tem espessura (Figura 9).
Figura 9

Como mostra a Figura 10, o plano é normalmente representado por um retângulo. 

Figura 10

Para lembrar:

Figura 11

Propriedades fundamentais do plano 

Figura 12

Se uma reta tem dois pontos num plano (A  e B), ela está totalmente situada nesse plano (Figura 12). 

Figura 13

Figura 14

Figura 15

Se pregarmos um quadro na parede por um ou dois pontos, podemos movê-lo. Se acrescentarmos um terceiro prego não- alinhado com os outros dois, o quadro ficará absolutamente fixo (Figura 15). 

Se pressionarmos um pedaço de papelão com um ou dois dedos, o papelão terá um ligeiro movimento que cessará se apertarmos com um terceiro dedo não alinhado com os outros dois. Da mesma maneira, uma porta fixa por duas dobradiças e pelo ferrolho não pode ser aberta. 

Figura 16

•	Duas retas que se cortam determinam um único plano (Figura 17).
		Figura 17

Figura 18

Figura 19

Figura 20

Observe o desenho da Figura 20, ao lado. 

Aparentemente, há apenas um ponto em comum entre os dois planos, mas, como já foi dito antes, o plano é infinito em todas as direções. Por isso, seu prolongamento nos dá um novo ponto que, juntamente com o anterior, determina uma reta. 

Figura 21

5. Posições distintas de duas retas
Se duas retas estão no mesmo plano, elas podem ser concorrentes ou paralelas. 

São as retas que, ao se cortarem, têm um ponto em comum (Figura 22). 

Figura 22

Duas retas são paralelas quando mantêm a mesma distância ou se superpõem (Figura 23). 

Figura 23

Quando as retas não estão no mesmo plano, elas são reversas (Figura 24). 

Figura 24

São as retas que se cortam formando um ângulo de 90° (Figura 25). 

Figura 25

6. Medida de segmentos 

Igualdade e desigualdade de segmentos 

Figura 26

Dois segmentos são iguais quando, ao serem superpostos, eles coincidem. Se os segmentos não coincidirem, são desiguais. Desenhamos, agora, o segmento (Figura 26) e o deslocamos sobre os segmentos ,  e : 

Comprovamos que: 

=  >  <

Figura 27

Comprovamos que  <  e  = .Com o compasso podemos construir um segmento igual a outro (Figura 28). 

Figura 28

Figura 29

Medida do comprimento de um segmento 

Para medir o comprimento de um segmento, precisamos do comprimento de outro segmento, que tomamos como unidade (Figura 29). 

O segmento u é o segmento unidade. 

O segmento  contém 5 vezes o segmento unidade. 

A medida do segmento  é igual a 5u. 

Figura 30

7. Distância entre dois pontos
Chamamos de distância entre os pontos M e P de um segmento ao comprimento do segmento (Figura 30, ao lado). 

8. Unidades de comprimento
Quase todos os países do mundo aceitam a utilização do metro como unidade de comprimento. 

Definição clássica de metro 

É a distância entre dois traços de uma barra metálica de platina-irídio, a 0° C de temperatura. Esta barra padrão é conservada no Escritório Internacional de Pesos e Medidas, em Paris. 

Figura 31

Na Figura 31, mostramos uma tabela de equivalências de múltiplos e submúltiplos do metro, com as respectivas conversões. De todas essas unidades, as mais utilizadas são o km, o cm e o mm. As demais unidades são pouco empregadas nas expressões de medidas ordinárias. 

9. Operações com segmentos de reta

Figura 32

Para somá-los, deslocamos os segmentos dados sobre uma reta, com a condição de que sejam segmentos consecutivos. Isto é, a extremidade de um segmento coincide com a do seguinte, sem superposição
(Figura 32). 

O segmento soma é a soma de todos os segmentos: 

+  +  =

Subtração de segmentos 

Figura 33

Observe os segmentos da Figura 33, na qual  > . Para subtrair  de , deslocamos o segmento sobre uma reta e depois o segmento , como indica o gráfico acima: 

O segmento diferença é , isto é: 

-  =

Multiplicação de um segmento por um número natural 

Figura 34

O produto do comprimento de um segmento por um número natural n  é igual à soma dos comprimentos de n  segmentos iguais a  (Figura 34). 

Temos o segmento  e queremos, por exemplo, multiplicá-lo por seis. Para tanto, deslocamos o segmento  seis vezes sobre uma reta. Assim: 

=  x 6

Divisão de um segmento em n partes iguais 

Figura 35

Para dividir um segmento em n partes iguais utilizaremos o Teorema de Tales (Os segmentos produzidos por retas paralelas em duas retas concorrentes são proporcionais). Dado um segmento qualquer , vamos dividi-lo em sete partes iguais (Figura 35): 

10. Traçado de segmentos

Figura 36

De um ponto a uma reta, podemos traçar muitos segmentos. Deles todos, o menor é o que recebe o nome de distância de um ponto a uma reta (Figura 36). 

Somente a reta  forma ângulos iguais a r, como mostra a Figura 36, acima. A distância de um ponto (P) a uma reta (r) é o segmento perpendicular () entre P e a reta (Figura 37). 

Figura 37

Chamamos de mediatriz (m) de um segmento à reta perpendicular que corta o segmento em seu ponto médio formando um ângulo reto (Figura 38).Os pontos que pertencem à mediatriz de um segmento são eqüidistantes das extremidades do segmento. 

Figura 38

Dado o segmento  (Figura 39): fazendo centro em A e em B, com um raio maior que a metade de , marcamos os pontos E e F. Unindo E  e F, obtemos a mediatriz (m). 

Figura 39

Para construir uma perpendicular à reta s, marcamos dois pontos A e B quaisquer. A partir daí, repetimos os procedimentos feitos com a mediatriz (Figura 40). 

Figura 40

Dado o ponto P e a reta r (Figura 41): fazendo centro em P, traçamos um arco que corte a reta r nos pontos A e B. Fazendo centro em A e em B, e com raio maior que a metade do segmento , marcamosF. marcamos F. A linha que passa por P e por F é a perpendicular a r que passa pelo ponto P. 

Figura 41