Figura 1

A Figura 1, ao lado, mostra a representação gráfica do número 3 362 na escrita egípcia, na romana e na árabe (da qual surgiu o sistema decimal). As duas primeiras não são posicionais, a escrita árabe, sim. 

Nosso sistema decimal está vinculado ao número de dedos das mãos e a nossa primeira forma de aprender a contar. No entanto, ele não é a única base válida ou usada. Outras bases de numeração também são utilizadas: o sistema sexagesimal  (de base 60) para a medição de ângulos, e o sistema binário (de base 2) para o cálculo automático ou para representar sistemas elétricos. 

Qualquer sistema de numeração pode ser representado pela seguinte expressão geral: 

... + d₄ b⁴ + d₃ b³ + d₂ b² + d₁ b¹ + d₀ b⁰

Na expressão acima, d  é o número ou dígito do sistema (0, 1, 2, 3, 4,...) e b  é a base do sistema utilizado. 

Para registrar números, utilizamos, normalmente, o princípio conhecido como 'princípio de valor relativo'. 

Observe o número 681: a posição da cifra 6 na terceira coluna a partir da direita nos informa que o número 6 representa seis centenas, e não seis unidades ou seis milhares. 

Esse tipo de sistema baseia-se no 'princípio de agrupamento sucessivo': as unidades são agrupadas em dezenas, cada coleção de dez dezenas é agrupada, em seguida, numa centena, e as centenas em milhares, e assim sucessivamente. 

A idéia de agrupamento sucessivo é um aspecto fundamental de nosso sistema de representação escrita dos números. 

Figura 2a

Nas Figuras 2a e 2b, acima e abaixo respectivamente, vemos como os elementos de um conjunto (de 28 pastilhas) podem ser agrupados em base dez e em base cinco. Observe que a representação em cada base é distinta: 

Figura 2b

O número 3 231 em base cinco pode ser lido da esquerda para a direita como 3, 2, 3, 1. Em base cinco, é incorreto lê-lo como: 'três mil, duzentos e trinta e um'. Para poder avaliá-lo, é preciso operar da direita para a esquerda. Assim, (3 231)₅ significa: 1 unidade de um, 3 cincos, 2 vinte e cincos e 3 vezes cento e vinte e cinco (5 X 5 X 5). 

Conversão do sistema decimal para o sistema binário
Veja, na Figura 3, como representar graficamente uma coleção de nove objetos, numerados no sistema binário. 

Figura 3

A tabela abaixo mostra as equivalências entre a numeração decimal e a numeração binária dos 20 primeiros números naturais. 

Conversão do sistema binário para o sistema decimal
Utilizando os exemplos anteriores, podemos fazer operações inversas e obter um número decimal a partir da representação binária. 

O número 1 101 é igual a 13 porque: 

Operação de soma e multiplicação de base não-decimal
Os sistemas de numeração posicionais, como o decimal, são mais difíceis de entender do que os não- posicionais, mas apresentam grandes vantagens na hora de se fazer operações.

Vamos construir a tabela de somar e de multiplicar em base oito (Figuras 4a e 4b, abaixo). 

Figura 4a	Figura 4b

Essas tabelas são parecidas com as tabelas de base dez. 

Observe que o 7 vem seguido pelas dezenas  e o 17 pelas vintenas, ou para sermos mais exatos, pelos números de dois algarismos que começam, respectivamente, por 1 ou 2. 

Expressão de um mesmo valor em bases diferentes e mudança de base de numeração
Partindo da expressão geral: 

Podemos expressar um mesmo valor em diferentes bases. 

Vimos como, pelo agrupamento sucessivo de grupos de dois, o número 9 na base 10 expressa-se como 1 001 na base dois. 

Isto é: 1 unidade + 0 vezes 2¹ + 0 vezes 2² + 1 vez 2³.
O que é o mesmo que: 

Da mesma forma, o numeral 2 345 na base dez, na base sete ou na base seis representa números distintos, mas as regras para realizar as operações não mudam com a mudança de base.