Os egípcios: primeiros a representar a variável

Representação de cenas do dia-a-dia de trabalhadores e escribas matemáticos egípcios

  A linguagem matemática através de palavras
A criação egípcia marca o ponto de partida do desenvolvimento da linguagem matemática. Com ela o pensamento matemático começa a desenvolver uma linguagem própria, diferentemente da linguagem usual das palavras. É, portanto, com a matemática egípcia que a linguagem matemática começa a se separar da linguagem usual.Trata-se da linguagem matemática através de palavras que, apesar de ser um pequeno passo, quase despercebido por ainda usar palavras, foi importante para a criação de um vocabulário próprio que chamaremos, brincando, de 'matematiquês': a língua da Matemática. Para uma palavra fazer parte do matematiquês, é preciso que: 

  A sentença matemática
Uma frase escrita desta forma, com palavras do matematiquês, constitui uma sentença matemática. Assim como a linguagem das palavras se expressa através de sentenças, a linguagem matemática se expressa em sentenças matemáticas: 

Em matematiquês, ficaria: 

Veja, em seguida, uma sentença com número desconhecido: 

Nesse caso, desconhecemos com que quantia Lúcia saiu. Este é o número desconhecido e que, portanto, será representado pela variável um número(aha). Teríamos, assim: 

A esta linguagem de palavras matemáticas chamaremos de álgebra das palavras. 

  O campo de variação
Quando dizemos uma sentença, por exemplo: Heloísa está sentada lá, a pessoa com quem conversamos, geralmente, sabe de quem e de onde estamos falando, e entende a sentença. Há um contexto para o qual a sentença é válida. A variável um número também tem o seu contexto, que, no caso, é o seu campo de variação. 

Para lembrar:

Desta forma, na sentença:
A idade de Arnaldo há seis anos... : 

Assim, o campo de variação ficaria definido: 

Os matemáticos também convencionaram que se uma sentença se refere a um número abstrato, o campo de variação a ser pensado será o mais amplo possível: no caso, o conjunto dos números reais. 

Como mostrar a variação?
A civilização egípcia foi uma das mais brilhantes da Antiguidade humana. Os gregos, por exemplo, foram ao Egito aprender com os matemáticos, astrônomos, médicos, entre outros pensadores daquele país. Ao retornar à Grécia, levaram esse tesouro. Com os gregos, a matemática egípcia conheceria um novo surto de progresso. No tesouro que receberam dos egípcios estavam a escrita numérica e a representação da variável pela palavra aha. 

A matemática egípcia, porém, tinha um problema para os estudiosos gregos: era formada por palavras. 

Era preciso livrar-se das palavras para que a linguagem matemática tivesse uma representação própria. Mas como representar a variação numérica de modo que ela ficasse imediatamente visível aos nossos olhos? 

A linguagem matemática figurada
Para substituir a escrita numeral por palavras, os gregos lançaram mão das formas geométricas. Segundo eles, somente os elementos geométricos (segmentos, figuras) poderiam representar tais verdades. As formas, com sua beleza absoluta, revelariam a essência das coisas, sua verdadeira natureza. 

Figura 1
No livro Elementos, Euclides demonstra o Teorema de Pitágoras, descrito como um moinho de vento, cauda de pavão ou cadeira da noiva (Figura 1)

Ao pesquisar e ensinar, Euclides elaborou a sua grande obra, o livro Elementos. Neste livro, ele desenvolve a teoria geométrica que até hoje é ensinada em nossas escolas. Na obra foi desenvolvida, de forma mais completa, a teoria de representação dos movimentos numéricos por meio de figuras geométricas. 

Figura 2

Euclides representava os números e a variável por meio de segmentos. Os cálculos eram feitos por meio da geometria desses segmentos: 

•	Um número, o número desconhecido (ou incógnita), seria representado por um segmento de comprimento qualquer:
•	Os números conhecidos seriam representados por segmentos com tantas unidades quanto as indicadas pelo número; assim, o número três seria:

Para lembrar:

Essa criação representou um grande passo à frente para a criação de uma linguagem matemática própria, que a separasse e a diferenciasse da linguagem usual, ou da linguagem das palavras. 

Figura 3

Reta numérica
Usando a linguagem figurada, representamos os conjuntos numéricos por meio de retas. As retas numéricas são: 

•	Para os números Naturais (N):
•	Para os números Inteiros (Z):
•	Para os números Racionais (Q):
•	Para os números Reais (R):

Sentenças matemáticas com adição e subtração
Na linguagem figurada, os números conhecidos e desconhecidos são segmentos de reta. Desta forma, adição e subtração de tais números serão indicadas por meio de adição e subtração de segmentos. Assim, um número mais dois será representado por: 

E, para representarmos a sentença: um número menos um, iniciamos representando a variável: 

Observe que as representações de adição e subtração acontecem na reta, isto é, são lineares. Por isto, dizemos que a adição e a subtração são operações lineares na linguagem matemática figurada. 

Sentenças matemáticas com multiplicação
A área (geralmente de um retângulo) é a forma geométrica de a linguagem matemática figurada representar uma multiplicação. Assim, para demonstrar a sentença o dobro de um número 

Representamos a variável

Por último, assinalamos a área.

  A negação do número
Os gregos faziam esculturas, monumentos e palácios para eternizar um instante da beleza absoluta. Da mesma forma, desenhavam a variável-figura para eternizar a variação como verdade numérica absoluta. O desenho, para eles, torna-se fixo, imutável, eterno, podendo (e devendo) ser pensado, mas nunca manipulado, transformado, simplificado. 

Como numeralizar a variável
Os gregos representavam a variável por meio da geometria, porque achavam que número não tinha nobreza, era coisa de escravo. Por séculos esse desprezo pelo número prevaleceu. Um sentimento que só acabou com as grandes transformações da sociedade, que caracterizaram a época histórica que ficou conhecida como Renascimento: 

As caravelas levaram os homens da Idade Moderna a ampliar fronteiras geográficas e científicas

Enfim, o mundo mudou. O movimento, a fluência eram idéias fundamentais para entendê-lo. Nesse período, o pensamento numérico retomou a sua importância para o registro dos movimentos quantitativos. Com isso, a representação geométrica da variável passou a ser um obstáculo, uma dificuldade para o pensamento matemático. 

Era preciso inventar uma variável que não fosse eterna, que se aproximasse o mais possível do movimento. Isto significava, também, a necessidade de aproximação com o número. Na verdade, a variável deveria ser (e é) numérica, sem indicar especificamente um número particular. 
 

A criação do símbolo numérico não-numeral: Diofante, o Pioneiro
A representação geométrica grega para a variável predominou por mil anos, sendo superada apenas no Renascimento. No entanto, o grego Diofante, que viveu entre 409 a.C e 325 a.C., não perdeu tempo.

Ao contrário do pensamento dominante, Diofante concebia o número como elemento fundamental do pensamento matemático, e não como coisa de escravo. Inspirado por essa idéia, ele buscou representar a variável do modo que mais se aproximasse do numeral. 

O símbolo que mais se parecia com o numeral era a letra. Esta conclusão era fácil para um matemático grego. Isto porque: 

Diofante escolheu a última letra da palavra-número – que em grego escreve-se arithmos, ou o S – para representar a variável. Observe que, até na escolha dessa letra, o matemático grego queria estar próximo do número. 

Estava, assim, criada a representação da variável por uma letra, inspirada na idéia numérica, em pleno reinado do desprezo pelo número. 

A partir daí, Diofante criou um método para escrever sentenças matemáticas usando o mínimo de palavras. Nesse método: 

Esta representação do matemático grego substituiu o excesso de palavras que os egípcios e demais matemáticos antigos utilizavam para as sentenças matemáticas. 

Toda a criação de Diofante, apresentada no seu livro Aritmética, permaneceu esquecida por mil anos. Ficou, assim, à margem da ciência oficial. 

Mil anos mais tarde, já em plena Europa do Renascimento, quando a sociedade sacudiu o pó do desprezo pelo número e encontrou a beleza da fluência, é que se retomou a linguagem matemática de Diofante. Essa linguagem serviu de ponto de partida para a nova criação da Matemática. 

Libertando o pensamento matemático das palavras

A partir do século XVI, com a incrível expansão do comércio, todo o pensamento matemático, incluindo a linguagem matemática, passou por um incrível desenvolvimento. 

É nesse momento de avanço que se formou a linguagem matemática moderna, que ficou conhecida como linguagem matemática simbólica. Nela, pela primeira vez, a Matemática liberta-se totalmente das palavras, adquirindo símbolos próprios. 

Assim, temos uma linguagem matemática voltada especialmente para a expressão e representação do pensamento matemático. 

Vamos, em seguida, acompanhar os desdobramentos desta criação. 

Os séculos XVI, XVII, XVIII e XIX foram marcados por uma intensa e rica criação de símbolos, usados para a elaboração de sentenças matemáticas. 

Isto aconteceu porque a ciência precisava de uma linguagem própria. Essa linguagem é representada pelos símbolos numéricos não-numerais, ou seja, símbolos que não são numerais, e que expressam movimentos numéricos. 

O primeiro grande passo nessa direção foi dado pelo francês François Viète (1540 a 1603), que surpreendentemente não era um matemático, mas um advogado, apaixonado pela Matemática. 

A contribuição de Viète foi tão importante que ele entrou para a história da Matemática e da ciência com o título de o 'Pai da Álgebra'. O francês Viète criou os seguintes símbolos: 

Gravura de Gregor Reisch na qual a aritmética ensina os seus elementos principais

Esses sinais foram usados pela primeira vez na linguagem matemática por Johann Widman, em sua Aritmética Comercial, de 1489. 

Viète também introduziu o uso de consoantes para representar os fatores que multiplicam a variável-vogal e os números conhecidos. Estes números são importantes no estudo das sentenças matemáticas e receberam um nome especial: coeficientes. Para o estudioso, a variável que não aparecesse com uma multiplicação teria como coeficiente 1, já que 1 multiplicado por qualquer número resulta sempre o próprio número. 

Outro grande matemático, contemporâneo de Viète, foi o inglês Thomas Harriot (1560 a 1621). Ele passou a indicar as potências pela repetição da variável-letra tantas vezes quanto indicasse o expoente. Já em 1647, o matemático W. Oughtred passou a utilizar os sinais x para multiplicação, substituindo a palavra in, e: para divisão, enquanto o suíço John Rahn indicava a divisão pelo sinal  . 

René Descartes

No século XIII, o matemático Leonardo de Pisa Fibonacci (1175 a 1240) passou a indicar a divisão pelo sinal de fração (traço horizontal). Esta representação é muito utilizada atualmente. 

Mais recentemente, os matemáticos fizeram nova simplificação: o ponto (.) indicativo de multiplicação não precisava mais ser escrito. Assim, o produto de um número pela variável pode ser representado apenas pela colocação, lado a lado, do número com a letra. 

Agora, vamos usar essa moderna simbologia matemática para a representação do campo de variação. Os matemáticos inventaram alguns símbolos também para esta representação: 

•	Os conjuntos passaram a ser representados no interior de chaves: { }
•	Os símbolos dos conjuntos numéricos já são nossos conhecidos: N (para o conjunto dos números naturais), Z (para o conjunto dos números inteiros), Q (para o conjunto dos números racionais) e R (para o conjunto dos números reais).
•	Para a expressão que pertence ao, inventaram o símbolo
•	Para a expressão tal que, criaram o símbolo /
•	Para maior, inventaram o sinal >, para menor  o sinal <. <STRONG />Maior ou igual  é representado pelo sinal  e menor ou igual, pelo sinal. Estes sinais foram criados pelo inglês Harriot e pelo francês Pierre Bouguer (1698 a 1758) no século XVII.

A linguagem matemática simbólica
A linguagem matemática simbólica é a representação dos movimentos numéricos feita por meio de símbolos matemáticos. 

A representação simbólica do conjunto Universo
Vamos elaborar, a seguir, a representação simbólica do campo de variação de um movimento numérico. Para tanto, tomaremos, como exemplo, um número que pertence ao conjunto dos número naturais e que é maior ou igual a 4 e menor que 9: 

Temos, então, um número x   que pertence ao conjunto dos números naturais: x  N

Veja, agora, a sua representação geométrica, que ajuda, e muito, a visualizar a representação simbólica: 

O número que procuramos está no interior deste campo numérico: 

Isto nos indica uma forma particular de usar os sinais  e <  (maior ou igual e menor) </FONT />

O conjunto Universo, ou campo de variação que vamos aqui combinar, será sempre representado pela letra U com seus elementos dentro de chaves { }; assim, o conjunto Universo que estamos trabalhando ficará escrito na linguagem simbólica da seguinte maneira: 

U = { x  N / 4 < x < 9}

Já vimos que, quando o conjunto Universo não vem indicado numa sentença matemática, subentendemos que se trata do conjunto mais amplo, no caso R, e escrevemos: 

U = {x  R}

Para lembrar:

Sentenças matemáticas simples e com parênteses
Com a moderna álgebra simbólica representa-se, com simplicidade, movimentos quantitativos que apresentam números desconhecidos, isto é, variáveis.Assim, o movimento: 

terá a seguinte representação algébrica: 

Agora, observe que a representação da sentença: 

na linguagem simbólica é: 

Já a sentença: 

na linguagem simbólica é representada como: 

O sinal de parênteses ( ) data do século XVI, quando apareceu numa das obras do matemático italiano Nicolo Tartaglia.