A palavra teorema origina-se do grego e significa penso, medito. Na Matemática, dá-se o nome de teorema às afirmações cuja autenticidade são verificadas por demonstração. O teorema está presente em todas as áreas do pensamento matemático, mas é principalmente na Geometria que sua presença é mais intensa. A história da Ciência, e particularmente da Matemática, bem como o testemunho de grandes pensadores, provam que primeiro se vislumbra o conhecimento por meio da fantasia e da intuição e, a seguir, desenvolve-se a sua lógica.
 

1. Indução e dedução
Observando os objetos ao redor e fazendo algumas experiências, descobrimos regularidades. Concluímos que se repetirmos certos atos, em determinadas circunstâncias, com os mesmos objetos e fenômenos, obteremos o mesmo resultado. Observando-se a correspondência entre um corpo e sua sombra, vemos que existe uma proporcionalidade entre eles. Esse processo de conhecimento chama-se indução. 

Por outro lado, quando transferimos o conhecimento que temos dessas regularidades para casos particulares, temos uma dedução. A indução leva à dedução; e a dedução enriquece e expande a indução. Uma não existe sem a outra. 

Para lembrar:

2. O sistema geométrico
A Geometria nasce e desenvolve-se a partir do trabalho que o homem realiza com as formas naturais que o cercam. Por meio da indução, acumulamos várias conclusões e conhecimentos do mundo geométrico. 

Uma ampla base indutiva estimula o surgimento de múltiplas deduções. Elas, por sua vez, desenvolvem-se de tal modo que passam a ser feitas sem a necessidade de experiências especiais. Essas deduções abstratas recebem o nome de silogismos. 

Figura 1

Figura 2

Figura 3

O conjunto Indução-Dedução-Silogismo compõe um sistema. Todo sistema, como vimos, começa pela indução. Assim, a partir de repetidas observações induz-se, por exemplo, que: 

Dessa afirmação podemos deduzir outras, sem a necessidade de passar por qualquer experiência, como: 

A dedução aqui é direta, pois a admissão de que duas retas diferentes têm dois pontos comuns negaria a ideia anterior de que por dois pontos passa uma e somente uma reta (Figura 3, ao lado). 

Para lembrar:

Esse conjunto de conhecimentos geométricos foi organizado em dois níveis por Euclides de Alexandria: 

3. A demonstração de um teorema
A demonstração de uma afirmação geométrica tem por objetivo provar a sua veracidade através de uma dedução lógica, partindo de verdades já comprovadas ou conhecidas. A demonstração é necessária para que: 

É fácil compreender o significado e a veracidade da afirmação de que, dadas duas retas que se interceptam, existe um e somente um plano que as contém. 

Figura 4

Mas essa afirmação não é suficiente, pois a sua aceitação axiomática ampliaria desnecessariamente as verdades não demonstradas. 

Para economia de axiomas e maior rigor e generalização da afirmação geométrica (Figura 4, ao lado), vamos demonstrá-la. 

Dadas duas retas r  e s concorrentes em P, pode-se demonstrar que existe somente um plano contendo r  e s. 

Demonstração: 

'	Pelo axioma que afirma que toda reta contém infinitos pontos, podemos afirmar que a reta s contém um ponto Q distinto de P.
'	Pelo teorema que mostra que duas retas distintas se interceptam em um e apenas um ponto, podemos dizer que Q não está em r.
'	Pelo teorema que afirma que uma reta e um ponto fora dela determinam um e somente um plano, dizemos que existe um único plano  contendo Q  e r.
'	Pelo axioma que afirma que se dois pontos de uma reta estão num plano, então a reta está contida nesse plano e podemos afirmar que contém s. Até aqui demonstramos que existe um plano  contendo r  e s.

Precisamos agora demonstrar que este plano é único. Vamos supor que existe um outro plano  que contenha r  e s: 

'	Como Q  está em s,  contém Q.
'	Da mesma forma como fizemos para , podemos concluir que contém Q  e r.
'	Pelo teorema que afirma que por uma reta e um ponto fora dela passa um e somente um plano, concluímos que  é o único plano que contém r  e s.