Monômio
Uma expressão algébrica pode variar em número de termos. Quando a sentença for composta de um só termo, dizemos que se trata de um monômio. 

Assim, em Álgebra, conhece-se por monômio a seguinte expressão: 

Todo monômio é constituído de duas partes: 

Para lembrar:

No monômio 5x³ temos: 

Observe as seguintes expressões algébricas inteiras: 

Nas três primeiras, aparecem apenas multiplicações. São monômios. 

Nas duas expressões seguintes, já aparecem somas e subtrações. São, portanto, polinômios. 

Cada parcela é conhecida por termo do polinômio. Os monômios 5x² e 2x² têm a mesma letra (x) elevada aos mesmos expoentes (2). Por isso, são denominados monômios semelhantes. 

Para lembrar:

Já os monômios 6x e 7y não são semelhantes. O mesmo acontece com 3x² e 5x³. 

Além disso, quando aparecem monômios semelhantes num polinômio, o polinômio pode ser simplificado: 

Noção de polinômio
A expressão axⁿ + bx^m chama-se binômio com variável x e com coeficientes inteiros a e b.

Assim, de modo geral, a expressão:

será chamada de polinômio com variável x e com coeficientes (a, b, c, d). 

Para lembrar:

São monômios com coeficientes inteiros: 

2x⁴; – 8x²; 7x 
7x²; 4x; – 8x⁵

São polinômios com coeficientes inteiros:

4x² + x³ – 7x⁵ – 2
x⁷ + 8x⁹ – 2x³ + 5x + 4x²

Grau de um polinômio
Temos o polinômio

Para lembrar:

O polinômio – 3x⁴ + 2x³ – 16x + 6 é de quarto grau, porque o maior expoente de x é 4.

O polinômio 8x⁵ – 3x² – 2x + 16 é de quinto grau porque o maior expoente de x é 5.  

Operações com polinômios
Soma de polinômios 

Os polinômios são somados agrupando-se os termos semelhantes. 

Temos os polinômios P(x) e Q(x): 

P(x) = 3x³ + 2x² + x – 3
e
Q(x) = 2x³ – 6x² + 1 

Agrupamos os termos dos dois polinômios que tiverem o mesmo grau:

P(x) + Q(x) =
(3x³ + 2x² + x – 3) + (2x³ – 6x² + 1) =
3x³ + 2x³ + 2x² – 6x² + x – 3 + 1 =  

O resultado será: 

Agora vamos somar os polinômios: 

P(x) = 4x³ + 2x² + 1 com Q(x) = 2x² + 2x + 1 

O resultado será: 

Multiplicação de polinômios 

Para multiplicar dois polinômios, devemos aplicar a propriedade distributiva do produto dos números reais em relação à soma. 

O resultado será: 

Para lembrar:

O resultado será: 

Podemos dispor a operação da multiplicação de polinômios deste exemplo como uma multiplicação normal de números reais: 

produtos parciais, graus agrupados por colunas produto final

Na multiplicação de polinômios também é preciso agrupar os termos segundo seu grau, ou seja 0, 1, 2,... 

Para lembrar:

Divisão de polinômios 

Sejam os polinômios A(x) = x² – 1 e B(x) = x + 1. Podemos comprovar, a partir dos produtos notáveis, que: 

O polinômio Q(x) = x - 1 chama-se quociente dos polinômios A(x) e B(x). 

O polinômio A(x)  é o dividendo, enquanto o B(x)  é o divisor. 

Como existe o polinômio Q(x) = x – 1, tal que 

podemos dizer que o polinômio x² – 1 é divisível pelo polinômio x + 1.  

Divisão de um polinômio pelo binômio x – a 

Dispositivo de Briot-Ruffini 

Os matemáticos Paolo Ruffini (1765 a 1822) e A. Briot (1817 a 1882) idealizaram um método prático para o cálculo do quociente de um polinômio de grau n. 

Para a aplicação desse dispositivo, usa-se o seguinte esquema: 

Comprovaremos que esta regra é uma simplificação da forma habitual de cálculo de uma divisão. 

Para lembrar:

Os binômios são do seguinte tipo, por exemplo: 

Faremos primeiro a divisão entre polinômios, pela forma habitual (Figura 1): 

O dispositivo de Briot-Ruffini tem as seguintes propriedades: 

Podemos escrever essa divisão apenas com os coeficientes, isto é, sem os x da Figura 1, utilizando o dispositivo de Ruffini. 

Figura 1

Os passos a seguir são indicados na Figura 2: 

Figura 2

Observe que dentro dos retângulos há o mesmo que nos retângulos da Figura 1. 

Uma vez calculados os coeficientes do quociente, podemos escrevê-los diretamente (recordando que o grau do quociente é uma unidade inferior ao do dividendo): 

O resto é o último número obtido: – 7 

Para lembrar:

Múltiplos e divisores
Tomamos como exemplo uma divisão exata: 

Segundo a propriedade fundamental da divisão exata, sabemos que: 

Assim, podemos escrever a divisão anterior como produto de dois fatores: 

O polinômio 8x²  – 14x – 15 é múltiplo de (2x – 5) e de (4x + 3). 

Os polinômios (2x – 5) e (4x + 3) são divisores de 8x² – 14x – 15. 

Pois 8x² – 14x – 15 é divisível por 2x – 5 e por 4x + 3. 

De maneira geral, diremos que, ao dividirmos P(x) por D(x), se o resto for zero, então: 

Valor numérico de um polinômio

Se temos o polinômio: 

e supomos que x = 2, podemos substituir os x por este valor e efetuar a seguinte operação: 

Teorema do resto
De acordo com o que foi visto até aqui, podemos escrever: 

Vamos calcular agora o valor numérico do polinômio quando x = 2. 

Podemos fazê-lo de duas maneiras: 

Com estes exemplos podemos comprovar que o valor numérico de um polinômio, quando x = 2, coincide com o resto da divisão desse polinômio por x – 2.  

Esta conclusão nos remete a um importante teorema: o Teorema do Resto, que pode ser genericamente enunciado como:

Fatoração de polinômios
Vamos decompor uma expressão algébrica em fatores, isto é, num número, letra ou operação que se multiplicam numa expressão. 

Numa divisão, o dividendo (D) é igual ao divisor (d) multiplicado pelo quociente (Q) mais o resto (R): prova da divisão. Se o resto da divisão for 0, P(x) = (x – a) X Q(x), o que é o mesmo que: o polinômio dividendo é decomposto no produto do divisor pelo quociente. 

Raízes de um polinômio

Para conhecer as raízes de um polinômio, devemos considerar a seguinte propriedade:

Para lembrar:

Vamos comprová-lo fatorando: 

Como o resto é zero, 1 é raiz de P(x); o que nos permite escrever o polinômio: 

na forma 

que é a sua forma fatorada. 

Tentamos agora fatorar P(x) ainda mais. Façamos o mesmo para a sentença (x³ + 3x² – 4x – 12), substituindo novamente o 1: 

Não dá exato, portanto 1 não é uma raiz dupla.
Tentamos agora com – 1:

Não dá exato, portanto – 1  não é raiz.
Tentamos com 2: 

Como o resto é zero, 2  é raiz. Assim, podemos escrever ainda: 

Em seguida, temos duas opções; podemos continuar dividindo ou então resolver a equação: 

Suas raízes são – 2 e – 3. 

O resultado da fatoração de:
P(x) = x⁴ + 2x³ – 7x² – 8x + 12
é
P(x) = (x – 1) (x – 2) (x + 2) (x + 3) 

Fator comum
Para colocar um fator comum em evidência num polinômio, precisamos aplicar as propriedades distributivas e simétricas de uma igualdade: 

Para fatorar o polinômio: 

P(x) = 4x²y³ + 8xy²z – 16x³y⁴ 

Começamos procurando o m.d.c. dos três coeficientes do polinômio, que será o coeficiente do fator comum: 

m.d.c. (4, 8 e 16) = 4 

Em seguida, procuramos o fator comum da parte literal, que é xy². 

Dividimos cada termo do polinômio pelo fator comum 4xy²  e obtemos: 

Para lembrar:

Resolvemos a equação 3x² - 6x - 9 = 0 

Tomemos qualquer uma delas, por exemplo, x = 3, e façamos a divisão do polinômio dado por x - 3: 

		3	-6	-9
3			9	9
		3	3	0

O quociente desta divisão é: 

Assim: 

Fatoração de trinômios
Um dos polinômios mais fáceis de fatorar é o quadrado de um binômio. 

Primeiro fatoramos o primeiro termo do trinômio: 

Em seguida, fazemos o mesmo com o terceiro termo, b²: (b) (b): 

Para lembrar:

Para isto, multiplicamos primeiramente os termos centrais e depois os extremos. 

Somamos os respectivos produtos e, se coincidir com o termo central do trinômio, a fatoração está correta: