Unidade imaginária
Tente resolver a equação x² + 4 = 0, aplicando o método geral de transposição de termos: 

Observe que não podemos extrair, considerando-se o conjunto dos números Reais, a raiz quadrada de um número negativo.
Sabemos que toda equação quadrática, cujo discriminante (delta) é negativo, não possui raízes reais.Todas as raízes negativas, contudo, podem ser expressas de um mesmo modo. Observe: 

Leonhard Euler

A atribuição desse significado foi dada ao mesmo tempo que se criava diferentes formas de expressá-lo. Embora utilizado pelo matemático Leonhard Euler, a sua criação é atribuída a Carl Friedrich Gauss. 

Para Euler, este novo número, chamado de unidade imaginária, seria representado pela letra i. Assim, se: 

Então podemos definir que: 

Dessa maneira, a solução da equação x² + 9 = 0 será: 

Definição de número Complexo
Chamamos de números Complexos os números da forma: 

Sendo a e b números Reais e i a unidade imaginária.Todo número Complexo compõe-se de duas partes: a parte real (a) e a parte imaginária (b).

Figura 1

Observe que se b = 0, o número Complexo a + bi só tem a parte real a. Conseqüentemente, os números Reais são um subconjunto dos números Complexos. Quando b = 0 diz-se que o número é Real (Figura 1, ao lado): 

Se a = 0, o número Complexo só tem a parte imaginária b e recebe o nome de Imaginário puro. Podemos resumir dizendo que:

a   Parte real a + bi   Número Complexo b   Parte imaginária

Igualdade de números Complexos
Dois números Complexos a + bi e c + di são iguais se o forem suas partes reais e suas partes imaginárias: 

a = c a + bi = c + di e     b = d

O número Complexo a - bi recebe o nome de número Complexo conjugado do número a + bi.

Representação geométrica dos números Complexos
O cientista alemão Carl Friedrich Gauss (1777 a 1855) foi o primeiro matemático a dar uma interpretação geométrica dos números Complexos. 

Representamos os números Reais sobre a reta na qual fixamos uma origem e uma unidade. 

Como todo ponto da reta corresponde a um número Real, fica claro que não podemos representar os números Complexos na reta real. 

O cientista Gauss

Para tanto, desenhamos um sistema de coordenadas. Sobre o eixo horizontal dispomos os números Reais e sobre o eixo vertical, os números Imaginários puros. Esse plano é conhecido como plano de Argand-Gauss (Figura 2, abaixo): 

Figura 2

Podemos agora representar qualquer número Complexo a + bi no plano (Figura 3, abaixo): 

Figura 3

Vamos estudar agora, graficamente, um dos exemplos de número Complexo (Figura 4, abaixo): 

Figura 4

O ponto de coordenadas A (a, b) recebe o nome de afixo do número Complexo.
A distância do centro de coordenadas O ao ponto A (a, b) recebe o nome de módulo do número Complexo e é indicado pela letra .Com base no Teorema de Pitágoras, concluímos que = Öa² + b².

O ângulo formado pelo semi-eixo positivo das abscissas com o segmento de reta OA, medido em sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, chama-se argumento do número Complexo. Ele é geralmente indicado pela letra grega .

Figura 5

Na Figura 5, podemos observar a interpretação geométrica dos afixos de dois números Complexos conjugados: a + bi e a - bi. 

Operações com números Complexos
Para concluir a construção dos números Complexos, precisamos definir as operações entre eles. 

Observe que a adição, subtração, multiplicação e divisão de números Complexos dão como resultado outros números Complexos. Além disso, essas operações são semelhantes às realizadas com os radicais dentro do conjunto dos números Reais. 

Adição e subtração de números Complexos 

Vamos recordar como somar e subtrair radicais. 

Reunimos, de um lado, os termos racionais e, de outro, os radicais semelhantes. 

De modo semelhante, somamos e subtraímos os números Complexos: 

Em geral, podemos escrever (Figura 6, abaixo): 

Figura 6

Dado o número Complexo: 

Chamamos de número Complexo oposto de a + bi ao número: 

Produto de números Complexos 

Vamos recordar, primeiro, como multiplicamos os radicais. Se temos os números: 

Aplicamos primeiramente a propriedade distributiva do produto com relação à soma e obtemos
(Figura 7, abaixo): 

Figura 7

Em geral, podemos dizer que (Figura 8, abaixo): 

O número Complexo 1 + 0i é o elemento neutro da multiplicação. 

Figura 8

Quociente de números Complexos 

Para dividir radicais operamos da seguinte maneira: 

Dividimos os números Complexos de maneira semelhante: 

Em geral, a divisão de números Complexos se faz racionalizando o divisor; isto é, multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado deste. Portanto, a divisão será: 

Observe que não é possível a divisão pelo número Complexo zero  (0 + 0i). 

Potências de números Complexos
Vamos começar recordando como achamos a potência de um radical: 

Da mesma maneira, operamos com os números Complexos: 

Geralmente, temos de aplicar o desenvolvimento do binômio de Newton. 

Figura 9

Na potenciação surgirão as potências sucessivas da unidade imaginária. Vamos verificar como elas se repetem (Figura 9, ao lado). 

Observe que os valores das potências de i se repetem de quatro em quatro, de modo que as potências do número i, cujo expoente for múltiplo de 4, são iguais à unidade. 

Figura 10

Para calcular qualquer potência da unidade imaginária i, dividiremos por 4 seu expoente e calcularemos a potência de i que tem por expoente o resto dessa divisão. 

Isto está representado de forma geral na Figura 10 (acima).