Definição
Dados dois conjuntos A e B, função é a relação de A em B, em que a todo elemento de A está associado um único elemento de B. Esta relação especial é indicada pela notação: 

f : AB

Um atleta que corre 7 metros por segundo tem o seu movimento representado algebricamente por f (x) = 7x. Assim, 4 segundos (x = 4) corresponderia à posição f (4) = 7 X 4 = 28 metros. 

Esta forma f (x) = 7x é a mais utilizada para representar algebricamente uma função, mas existem outras: 

f : AB

x6x + 3

'	Se f é uma função e f (x) = y, diremos que x é elemento do domínio e y é a sua imagem pela função.
'	Em toda função f : AB, o conjunto A é o domínio e o conjunto B é o contradomínio da função.

f : NZ f (x) = 5x + 2 2N f (2) = 5 X 2 + 2 = 12

Dizemos que 12 é a imagem de 2. 

Figura 1

Funções reais
Uma função é real quando o conjunto dos números reais constitui o seu domínio e contradomínio, isto é: 

f : RR

Como vimos no exemplo do atleta (Figura 1, na página anterior), a expressão algébrica de uma função permite que, ao substituir a variável x por um número do domínio, obtenha-se a sua imagem f (x). 

Para uma função existir, é preciso que, ao substituir x na expressão algébrica por um número real, resulte sempre um valor real. 

Mas existem funções nas quais nem todos os números reais têm imagem pela função. Nesse caso, o seu domínio não é mais o conjunto dos números reais, ou conjunto R, e sim o subconjunto A de R dos números que têm imagem real. Representamos essa restrição da seguinte forma: 

f : AR

Na função abaixo: 

Verificamos que x = 0 não tem imagem, pois o denominador não pode ser 0. 

Figura 2b

Figura 2a

  Representação gráfica de uma função
Como o conjunto dos números reais pode ser representado sobre uma reta, o método de coordenadas cartesianas serve para representar funções. 

Observe os gráficos das Figuras 2a e 2b, ao lado. A variável independente x é representada sobre o eixo das abscissas e a variável dependente y, sobre o eixo das ordenadas. 

  Operações com funções 
Assim como fazemos várias operações com os números (adição, subtração ou multiplicação), também podemos realizar operações com funções: 

Multiplicação de uma função por um número real 

O produto é uma nova função, em que para cada valor de x corresponde k vezes o valor por f. 

f : RR; f (x) = 3x + 2 5 f : RR (5 f) (x) = 5 X (3x + 2) = 15x + 10

Adição de funções 

Temos f (x) = 3x + 2 e g (x) = – 4x + 5. Se somarmos membro a membro, obteremos: 

Verifique este resultado: 

Em geral, podemos expressar essa operação em linguagem matemática e também graficamente, como na Figura 3, abaixo: 

Figura 3

Multiplicação de funções 

Seguimos o mesmo procedimento da soma: 

Multiplicamos membro a membro e obtemos: 

Comprovamos que: 

Em geral, podemos representá-la como na expressão e na Figura 4, abaixo: 

Figura 4

Composição de funções 

A composição de uma função f com outra função g é uma nova função que vamos representar por gof e que definimos da seguinte maneira: 

Primeiro descobrimos f (x) e com o resultado obtido calculamos g (x). 

Mas atenção: se mudarmos os termos para (fog), teremos um resultado diferente: 

Classificação de funções
Podemos fazer uma classificação particular de algumas funções, a partir de suas representações gráficas. É o caso dos exemplos seguintes: 

Função par 

Chamamos de função par a função que é simétrica com relação ao eixo das ordenadas. Isto é, quando se verifica: 

O gráfico de uma função par fica determinado se conhecemos a forma que tem para os valores positivos (Figuras 5a, 5b e 5c, abaixo). 

Figura 5a	Figura 5b

Figura 5c

Função ímpar 

Chamamos de função ímpar a que é simétrica com relação ao centro de coordenadas, isto é, quando se verifica: 

Figura 6a	Figura 6b

Figura 6c

O gráfico de uma função ímpar fica determinado se conhecemos a forma que tem para valores positivos (Figuras 6a, 6b e 6c, acima). 

Função afim 

Figura 7a	Figura 7b

'	Uma função f cujos valores são dados por uma fórmula, f (x) = ax + b, onde a e b são números reais e a0, chama-se função afim ou polinomial de primeiro grau.
'	A função afim na forma f (x) = ax recebe o nome de função linear. O gráfico desta função (Figuras 7a e 7b, à esquerda) é uma reta que passa pelo centro de coordenadas (0, 0).

Figura 8

6. Continuidade
A idéia intuitiva de continuidade implica uma ligeira variação da função, sem saltos bruscos que desequilibrem o gráfico (Figura 8, ao lado). 

Este gráfico mostra o crescimento progressivo de uma pessoa em função da idade. Como vemos, ele apresenta pequenos saltos entre um ponto e o seguinte. 

Se considerarmos a medida da altura a cada 5 anos, ela será sempre maior, pois a idade também é. 

Interpretação geométrica da continuidade 

Figura 9	Figura 10

Observamos na Figura 9, acima, que o desenho mostra um gráfico de primeiro grau, na vizinhança do ponto P (3, 1). 

O ponto Q [3 + u, f(3 + u)] se aproximará de P quando u se aproximar de 0. 

A continuidade da função f (x), neste ponto, é que a um 

x = u pequeno

corresponde: 

y = f (a + u)

onde a é um valor qualquer da variável independente. 

Vamos avançar um pouco mais no conceito de continuidade de uma função (Figura 10, acima). 

Uma função f (x)é contínua no ponto x = a. Se x tende a 0, implica que y tende a 0. 

Definição formal de continuidade 

Agora observe atentamente o gráfico da Figura 11, abaixo: 

Figura 11

Uma função f (x) é contínua no ponto x = a, quando se verifica: 

Para isso, consideramos que x = a + h e substituímos em: 

quando h tende a 0, x tende a a. 

A continuidade de f (x), em x = a, obriga verificar as seguintes condições, ou seja, só é verdadeira se: 

Função descontínua 

Agora, observe no gráfico da Figura 12, abaixo, o preço de uma ligação telefônica em função do tempo (t) de sua duração. 

Como há diversos tipos de tarifas telefônicas, tomaremos um valor médio aproximado de 3 centavos de real por minuto.
No gráfico em forma de escada, podemos comprovar que, para pequenas variações do tempo (variável independente), nem sempre corresponde uma variação do preço (variável dependente).
Portanto, não faz sentido unir os pontos. Nesses casos, diremos que a função é descontínua. 

Figura 12

Figura 13

Função crescente
Quando temos uma função pode ocorrer que, aumentando os valores de x, os valores das imagens também aumentem. Nesse caso, diremos que a função cresce. 

Podemos vê-la claramente de maneira gráfica na Figura 14, abaixo: 

Figura 14

x1 < x2f (x1) < f (x2)

Podemos comprovar o primeiro critério de crescimento de uma função observando o gráfico da Figura 15, abaixo: 

Figura 15	Figura 16

Podemos comprovar outro critério de crescimento de uma função observando o gráfico da Figura 17, abaixo: 

Figura 17

8. Função decrescente
Ao contrário do que ocorre nas funções crescentes, uma função é decrescente quando os valores de x aumentam e os valores de y diminuem, como podemos observar no gráfico da Figura 18, abaixo: 

Figura 18

x1 < x2f (x1) > f (x2)

Vamos observar a representação gráfica da Figura 19, abaixo: 

Figura 19

Para lembrar:

Comprovaremos outro critério de decrescimento de uma função observando o gráfico da Figura 20, abaixo: 

Figura 20

9. Extremos locais de uma função num ponto
Pode ocorrer que entre dois pontos x₁ e x₂, sendo a função definida por continuidade em todos os pontos entre x₁ e x₂, ela seja crescente e decrescente. 

Vamos observar isto nos gráficos da Figura 21, abaixo: 

Figura 21

Neste gráfico, podemos notar que a função cresce em alguns intervalos e decresce em outros.

10. Concavidade, Convexidade e Pontos de inflexão
Podemos encontrar funções que são crescentes, mas não parecem iguais.
O que as torna diferentes é a concavidade. Para verificá-la, vamos observar atentamente os três gráficos da Figura 22, abaixo: 

Figura 22

Concavidade 

Diremos que uma curva é côncava num intervalo (a, b), que tenha apenas um máximo ou um mínimo, quando o gráfico da curva ficar abaixo da corda que une os pontos a e b. 

Vamos verificar esta definição de concavidade de uma curva observando o gráfico da Figura 23, abaixo:

Figura 23

Convexidade 

Inversamente, diremos que uma curva é convexa num intervalo (a, b) e que tem apenas um máximo ou um mínimo quando o gráfico da curva ficar acima da corda que une as imagens de a e b. 

Vamos comprovar a definição de convexidade de uma curva observando a Figura 24, abaixo: 

Figura 24

Critérios de concavidade e convexidade 

Assim, devemos estabelecer critérios válidos que definam a situação encontrada. 

Figura 25

Figura 26

Figura 27

Pontos de inflexão 

Os pontos de inflexão de uma curva são aqueles nos quais a curva passa de côncava a convexa, ou de convexa a côncava. 

Observe os gráficos da Figura 28, abaixo: 

Figura 28

EXERCÍCIOS 1. Nas funções seguintes, qual é a imagem de x quando x = 4 e quando x = -2? a) y = 2 / (x 3) b) f (x) =/ 2 c) f (x) = 1/x d) y = (x3+6) / 3 2. Qual o domínio das funções do exercício anterior? 3. Expressar a função p (x) obtida a partir do produto cujos fatores são f(x) = 1 / (x 2) e g(x) = (x2 4) / (x 1). Qual o domínio de f(x) e g(x)? 4. Sejam as funções h(x) = 2x 3 e k (x) = 3x2 + 4. Expressar as funções compostas (hok) e (koh). 5. Quais das seguintes funções são lineares? a) y = (1/2)x b) y = 2x2 + 3 c) y = 4x + 1 6. O gráfico abaixo representa as temperaturas registradas ao longo de um dia num laboratório meteorológico. a) Qual é a temperatura máxima? b) Qual é a temperatura mínima? c) A que horas se produzem? d) Quais são os períodos em que a temperatura aumenta? e) Em que período a temperatura diminui? 7. Faça um estudo das características da função: y = x2 6x + 8