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Igualdade
Vamos pensar na seguinte situação: fomos ao supermercado para comprar uma lata de óleo que custa 2,50 reais e quatro latas de extrato de tomate por 60 centavos de reais cada. Quanto pagamos ao todo? Para resolver esta questão, podemos expressar esta situação a partir de uma sentença matemática: 2,50 + 0,60 x 4 = 4,90. Nesta expressão aparece o sinal =. Aqui diremos que se trata de uma igualdade.
Identidade
Examinemos, agora, o quadrado do binômio b + 3 : (b + 3)2.
Pelo desenvolvimento do quadrado da soma de um binômio, temos:
| (b + 3)2 = b2 + 2 X b X 3 + 32 |
O que nos dá:
Observe que, para diferentes valores de b, a igualdade persiste:
| • |
Para b = 1:
(1 + 3)2 = 12 + 6 X 1 + 32
42 = 1 + 6 + 9
16 = 16 |
| • |
Para b = – 2:
(–2 + 3)2 = (–2)2 + 6 X (–2) + 32
12 = 4 – 12 + 9
1 = 1 |
| Uma identidade é uma igualdade que se verifica para qualquer valor numérico das variáveis. |
Equação
Observemos a seguinte sentença matemática:
2x + 3 = 13
Adotemos alguns valores para x:
Para x = 1: 2 X 1 + 3 = 13
Para x = 2: 2 X 2 + 3 = 13
Para x = 5: 2 X 5 + 3 = 15
Observe que a igualdade só se verificou para x = 5.
 Para lembrar:
| Uma equação é uma igualdade que só se diferencia da identidade para alguns valores da variável. Podemos, também, dizer que equação é toda sentença aberta expressa por uma relação de igualdade. |
| Sentenças matemáticas abertas são aquelas possíveis de se classificar em verdadeiras ou falsas, dependendo do valor da variável. Em outras palavras, se numa igualdade literal damos um valor às letras e a igualdade não se verifica sempre, podemos nos assegurar de que se trata de uma equação. |
Elementos de uma equação
Assim como no conhecimento de uma máquina, no estudo das equações é importante que conheçamos peça por peça. Vamos então desmontar uma equação, para apreendermos seu vocabulário próprio.
Considere a equação: 2x + 3 = 7 – 5x
Os sinais
O sinal de igual é o mais importante na equação, é ele que a caracteriza. É o sinal de igual que separa a equação; ele a decompõe em duas peças.
| • |
Estas peças recebem o nome de membros da equação. A expressão que está à esquerda do sinal de igual, 2x + 3, recebe o nome de primeiro membro. A expressão que está à direita, 7 – 5x, é chamada de segundo membro. |
| • |
Cada membro da equação, por sua vez, pode ser decomposto em peças ainda menores, que estão unidas por parafusos que são os sinais de (+) e (–). Cada uma destas peças recebe o nome de termo da equação. |
Assim, os termos de uma equação estão separados pelos sinais de mais (+) e de menos (–).
Os termos da equação
Podemos distingui-los em:
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Termos em x, que contêm a incógnita, como: +2x e – 5x |
Podemos decompor os termos em x em peças ainda menores, desfazendo-se as soldas indicadas pela multiplicação. Cada termo em x pode então ser decomposto em duas partes:
O número: chamado coeficiente.
A variável: chamada parte literal.
Assim, temos:
Em +2x, o coeficiente é +2 e a parte literal é o x
Em –5x, o coeficiente é –5 e a parte literal é o x |
Vale notar que os termos que têm a mesma parte literal são chamados de termos semelhantes.
Numa equação como 4 – x = x + 8, nos termos em x os coeficientes não 'aparecem'. Isto porque em –x o coeficiente é –1 (–1x = –x) e no termo x o coeficiente é 1 (1x = x). Estes dois termos são termos semelhantes, já que têm a mesma parte literal.
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Termos independentes de x, que não contêm a incógnita: +3 e +7 |
Soluções de uma equação
São o valor ou valores que, substituídos numa equação, fazem com que a igualdade se verifique. Recebem também o nome de raízes da equação.
Uma equação pode ter várias soluções, uma solução ou nenhuma solução. Vejamos isto através de exemplos:
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Em 3x2 = 12
Há duas soluções: x = 2 e x = –2 |
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Em 3x = 12
Há uma única solução: x = 4 |
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Em 2x – x = 12 + x
Não há nenhuma solução. |
| • |
Em 5x + 1 – 3x = 2x + 1
A solução é dada por qualquer número. |
Grau de uma equação
Corresponde ao grau do termo de maior grau:
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x2 – 4x + 3 = 0, é de segundo grau. |
| • |
y + y3 – 6y2 = –4, é de terceiro grau. |
| • |
2x + 3 = 5, é de primeiro grau. |
Propriedade fundamental
Podemos pensar numa equação como uma balança de dois pratos, em que o fiel da balança corresponderia ao sinal de igual (=). Observando a foto abaixo percebemos que o equilíbrio entre os pratos da balança não se modifica se adicionarmos ou retirarmos uma mesma quantidade dos dois pratos:
O mesmo acontece com os membros de uma equação. Se somarmos, subtrairmos, multiplicarmos ou dividirmos os dois membros de uma equação por um mesmo número, a igualdade se mantém.
2x + 4 = 8
| • |
Somamos 2 em cada membro e obtemos:
2x + 4 + 2 = 8 + 2
2x + 6 = 10 |
| • |
Subtraímos 2 e obtemos:
2x + 4 – 2 = 8 – 2
2x + 2 = 6 |
| • |
Multiplicamos por 2 e obtemos:
2 X (2x + 4) = 2 X 8
4x + 8 = 16 |
| • |
Dividimos por 2 e obtemos:
(2x + 4) : 2 = 8 : 2
x + 2 = 4 |
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Comprovamos que, substituindo x por 2 (x = 2 é a solução da equação), a igualdade se mantém. |
Equações equivalentes
Com base no exemplo anterior, podemos dizer que duas ou mais equações são equivalentes se admitirem a mesma solução.
Portanto:
| 2x + 4 = 8 |
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são equivalentes |
| 2x + 6 = 10 |
| 2x + 2 = 6 |
| 4x + 8 = 16 |
| x + 2 = 4 |
Resolução de equações
Na resolução de equações de primeiro grau, seguimos uma ordem determinada para facilitar a tarefa e não cometer erros. Aqui utilizamos as propriedades das igualdades e as operações envolvidas. Resolver uma equação será procurar uma equação equivalente que lhe forneça a solução.
Ordem operativa
Desenvolvemos em seguida, de forma esquemática, a ordem operativa que devemos seguir na resolução de equações. No entanto, às vezes teremos de dispensar alguma etapa ou mudar a ordem das operações:
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Parênteses: são eliminados aplicando-se a propriedade distributiva. |
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Denominadores: são eliminados aplicando-se o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) entre os termos da equação. |
| • |
Transposição de termos: os termos em x são agrupados em um membro, geralmente o primeiro, e os termos independentes, no outro. |
| • |
Redução dos termos semelhantes: completar as operações indicadas nos itens acima. |
| • |
Encontrar o valor da incógnita. |
Apliquemos este procedimento na resolução da equação:
Eliminamos os parênteses:
Suprimimos os denominadores através do m.m.c.:
45 – 60x = – 20x + 60
Transpomos os termos:
– 60x + 20x = 60 – 45
Reduzimos os termos:
– 40x = 15
Solucionamos a incógnita:
EXERCÍCIOS
Resolver as seguintes equações de primeiro grau:
1. 5x + 8 = 8x + 2
2. 2(x +1) – 3(x – 2) = x + 6
3. |
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