1) O resto da divisão P(x) = x4 + x3 + x2 + ax + b por x2 + 1 é 3. O valor de a + b é: A) 5
b) 4
c) 2
d) – 2
e) – 4 A alternativa certa é b. Como o divisor possui grau 2 e não é fatorável, o método escolhido deve ser o da Chave.
x4 + x3 + x2 + ax + b |  | x2 + 1 | | –x4 – x2 | | x2 + x | x3 + ax + b | | –x3 –x | | (a – 1)x + b | |
Portanto:
(a – 1)x + b = 0x + 3 => a = 1 e b = 3.
Logo, a soma pedida vale a + b = 1 + 3 = 4.
2)Seja Q(x) o quociente da divisão do polinômio P(x) = x6 – 1 pelo polinômio d(x) = x – 1. Então:
a) Q(0) = 0
b) Q(0) < 0
c)Q(1) = 0
d) Q(-1) = 1
e)Q(1) = 6
R: A alternativa certa é e.
Observe que o divisor é do 1º grau e foi pedido o quociente. Logo, devemos escolher o Método Prático de Briot-Ruffini, tomando muito cuidado durante a montagem do dispositivo, principalmente com a colocação dos zeros nas posições em que os termos do dividendo estão ausentes. Assim Logo: Q(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 e Q(1) = 6 (soma dos coeficientes numéricos). Observação: O fato de o resto valer zero nos garante que P(x) é divisível por d(x).
3)Dividindo-se um polinômio P(x) por (x – 1), obtém-se resto 2. Dividindo-se o mesmo polinômio por (x + 1), obtém-se resto – 2. Então obtenha o resto da divisão de P(x) por (x – 1).(x + 1). R(x) = 2x
Aplicando o Teorema do Resto nas duas primeiras divisões, temos:
P(x) | | x – 1 | => P(1) = 2 | | | 2 | | q1(x) | | | | | |
P(x)
| |
x + 1
|
=>P(–1) = – 2
| | – 2 | | q2(x) | | | |
E a partir da última divisão, temos: P(x) | | (x – 1) (x+1) | => P(x) = (x–1) (x+1) + ax+b |  | ax+b | Q(x) |
Observe que, apesar de não conhecermos o dividendo P(x), podemos atribuir para x os valores 1 e – 1, encontrando um sistema de equações lineares, assim:
P(1) = a.1 + b => a + b = 2 (equação I)
P(–1) = a.(–1) + b => – a + b = – 2 (equação II)
A resolução deste sistema apresenta os valores a = 2 e b = 0.
Portanto, o resto procurado é R(x) = 2x
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